Calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano es una habilidad fundamental en matemáticas y aplicaciones prácticas. En este artículo, exploraremos paso a paso cómo calcular la distancia entre el punto a(4,3) y otro punto en el plano. Nos sumergiremos en los conceptos clave y proporcionaremos ejemplos ilustrativos para facilitar la comprensión.
Conceptos Fundamentales
Antes de abordar el cálculo de la distancia entre dos puntos, es crucial comprender algunos conceptos básicos. En un plano cartesiano, cada punto se representa por un par ordenado (x, y), donde ‘x’ es la coordenada en el eje horizontal (abscisas) y ‘y’ es la coordenada en el eje vertical (ordenadas).
Coordenadas del Primer Punto
Para el punto a(4,3), el valor de ‘x’ es 4 y el valor de ‘y’ es 3. Estas coordenadas nos ubicarán en el plano cartesiano a una distancia de 4 unidades a la derecha del origen y 3 unidades hacia arriba desde el origen. Esta comprensión será fundamental para realizar el cálculo de la distancia.
Punto en el Plano Cartesiano
Visualicemos el punto a(4,3) en el plano cartesiano, donde el eje horizontal (x) y el eje vertical (y) se cruzan en el origen (0,0). Al graficar el punto a(4,3), nos desplazamos 4 unidades a la derecha sobre el eje x y luego 3 unidades hacia arriba sobre el eje y para ubicar el punto en el plano.
Cálculo de la Distancia
La fórmula para calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano se conoce como la fórmula de la distancia. Esta fórmula se deriva del teorema de Pitágoras y se expresa como:
Distancia = √((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2)
Coordenadas del Segundo Punto
Supongamos que tenemos otro punto, b(x1, y1), cuyas coordenadas son (5,7). Aplicaremos esta fórmula para calcular la distancia entre el punto a(4,3) y el punto b(5,7).
Cálculo de la Distancia Euclidiana
La distancia euclidiana entre dos puntos en un plano se calcula utilizando la fórmula de la distancia. Esta fórmula proporciona la longitud de la línea recta que conecta los dos puntos, siguiendo el teorema de Pitágoras, donde la hipotenusa del triángulo formado por los dos puntos es la distancia requerida.
Ejemplo Práctico
Consideremos el punto a(4,3) y el punto b(5,7). Aplicaremos la fórmula de la distancia para encontrar la distancia entre estos dos puntos en el plano cartesiano.
Paso 1: Diferencia de Coordenadas
Calculamos la diferencia de las coordenadas x e y de los dos puntos. Para los puntos a(4,3) y b(5,7), la diferencia de coordenadas es:
(x2 – x1) = (5 – 4) = 1
(y2 – y1) = (7 – 3) = 4
Paso 2: Elevar al Cuadrado
Elevamos al cuadrado cada una de estas diferencias, es decir, (x2 – x1)^2 y (y2 – y1)^2. Esto nos da:
(x2 – x1)^2 = (1)^2 = 1
(y2 – y1)^2 = (4)^2 = 16
Paso 3: Suma de Cuadrados y Raíz Cuadrada
Sumamos estas dos cantidades y luego tomamos la raíz cuadrada del resultado:
√((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2) = √(1 + 16) = √17
Calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano implica aplicar la fórmula de la distancia para encontrar la longitud de la línea recta que los conecta. Este proceso se basa en los conceptos geométricos fundamentales y es crucial en diversas disciplinas, desde la física hasta la ingeniería y la informática. Al comprender los pasos involucrados y practicar con ejemplos, podremos dominar la habilidad de calcular distancias de manera efectiva.