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Domina la probabilidad con pruebas de hipótesis: Estadísticas inferenciales al alcance de todos

La inferencia estadística es una rama importante de las estadísticas que nos permite tomar decisiones y realizar inferencias sobre una población a partir de la información obtenida de una muestra.

A diferencia del enfoque descriptivo, que simplemente describe y resume los datos observados, la inferencia estadística utiliza técnicas y procedimientos para hacer predicciones y generalizaciones sobre una población más amplia.

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Una de las herramientas más utilizadas en la inferencia estadística son las pruebas de hipótesis, las cuales nos permiten tomar decisiones basadas en la evidencia obtenida de los datos.

En este artículo, exploraremos en detalle las pruebas de hipótesis, cómo realizarlas y cómo interpretar sus resultados.

¿Qué son las pruebas de hipótesis?

Una prueba de hipótesis es un procedimiento estadístico que nos permite tomar una decisión sobre una afirmación que se hace sobre una población.

Esta afirmación, conocida como hipótesis, se formula en términos de parámetros poblacionales y se contrasta con la evidencia obtenida de los datos de la muestra.

Definición básica de una prueba de hipótesis

En una prueba de hipótesis, se plantean dos hipótesis: la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa (H1).

La hipótesis nula es la afirmación que queremos poner a prueba y la hipótesis alternativa es la afirmación que consideramos como una posible alternativa a la hipótesis nula.

El objetivo de una prueba de hipótesis es evaluar la evidencia obtenida de los datos y tomar una decisión sobre si rechazar la hipótesis nula a favor de la hipótesis alternativa o no tener suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula.

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Ejemplo práctico de una prueba de hipótesis

Supongamos que un compañía de teléfonos móviles afirma que la duración promedio de la batería de su nuevo modelo de teléfono es de al menos 10 horas.

Queremos poner a prueba esta afirmación utilizando una prueba de hipótesis.

Nuestra hipótesis nula sería que la duración promedio de la batería es de 10 horas o menos (H0: μ ≤ 10) y nuestra hipótesis alternativa sería que la duración promedio de la batería es mayor a 10 horas (H1: μ > 10).

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Para realizar la prueba de hipótesis, recolectaríamos una muestra de teléfonos y registraríamos la duración de la batería de cada uno.

Luego, utilizaríamos técnicas estadísticas para analizar los datos y determinar si hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula.

Pasos para realizar una prueba de hipótesis

Realizar una prueba de hipótesis implica seguir una serie de pasos para obtener resultados precisos y confiables.

A continuación, se detallan los pasos generales para llevar a cabo una prueba de hipótesis:

1.

Establecer las hipótesis nula y alternativa

El primer paso en una prueba de hipótesis es establecer la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

La hipótesis nula es aquella que queremos poner a prueba y la hipótesis alternativa es una afirmación alternativa a la hipótesis nula.

Estas hipótesis se expresan en función de los parámetros poblacionales que queremos analizar.

2.

Determinar el nivel de significancia

El nivel de significancia, denotado por α (alfa), es la probabilidad de cometer un error de tipo I, es decir, rechazar incorrectamente la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.

Este nivel se establece de antemano y determina cuán raro debe ser un resultado para que se rechace la hipótesis nula.

El nivel de significancia más comúnmente utilizado es α = 0.05, lo que significa que hay una probabilidad del 5% de cometer un error de tipo I.

Sin embargo, dependiendo del contexto y de la naturaleza de la prueba, se pueden utilizar otros niveles de significancia.

3.

Recolectar datos y realizar cálculos

Una vez que se han establecido las hipótesis y el nivel de significancia, se procede a recolectar los datos necesarios y realizar los cálculos pertinentes.

Dependiendo del tipo de prueba de hipótesis que se esté realizando, se utilizarán diferentes técnicas estadísticas.

4.

Interpretar los resultados

El último paso en una prueba de hipótesis es interpretar los resultados obtenidos.

Si la evidencia obtenida de los datos es lo suficientemente fuerte como para rechazar la hipótesis nula, se concluye que hay suficiente evidencia para apoyar la hipótesis alternativa.

De lo contrario, si la evidencia no es lo suficientemente fuerte, no se rechaza la hipótesis nula.

Tipos de errores en las pruebas de hipótesis

En las pruebas de hipótesis, existen dos tipos de errores que se pueden cometer: el error tipo I y el error tipo II.

Error tipo I

El error de tipo I se produce cuando se rechaza incorrectamente la hipótesis nula, es decir, se concluye que hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.

El error tipo I es equivalente a un “falso positivo”, ya que se llega a una conclusión incorrecta de que hay una diferencia o efecto cuando en realidad no hay.

Error tipo II

El error de tipo II se produce cuando se acepta incorrectamente la hipótesis nula, es decir, se concluye que no hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.

El error tipo II es equivalente a un “falso negativo”, ya que se llega a una conclusión incorrecta de que no hay una diferencia o efecto cuando en realidad sí lo hay.

Ejemplos de errores en las pruebas de hipótesis

Supongamos que se realiza una prueba de hipótesis para evaluar si un nuevo tratamiento médico es efectivo para reducir los niveles de colesterol en pacientes con hipercolesterolemia.

Se plantea la hipótesis nula de que el tratamiento no tiene ningún efecto sobre los niveles de colesterol y la hipótesis alternativa de que el tratamiento sí tiene un efecto.

Si se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el tratamiento es efectivo, pero en realidad el tratamiento no tiene ningún efecto, se estaría cometiendo un error de tipo I.

Por otro lado, si se acepta la hipótesis nula y se concluye que el tratamiento no es efectivo, pero en realidad sí tiene un efecto, se estaría cometiendo un error de tipo II.

Pruebas de hipótesis para muestras grandes

Existen diferentes técnicas de prueba de hipótesis dependiendo del tipo de parámetro poblacional y del tipo de muestra que se esté analizando.

En primer lugar, examinaremos las pruebas de hipótesis para muestras grandes.

Prueba t de una muestra

La prueba t de una muestra se utiliza cuando queremos evaluar si la media de una variable en la población es igual a un valor específico.

La hipótesis nula afirmaría que la media poblacional es igual a ese valor específico y la hipótesis alternativa afirmaría lo contrario.

Para realizar la prueba t de una muestra, se calcula la estadística de prueba t utilizando la fórmula:

t = (x̄ – μ) / (s / √n)

Donde x̄ es la media de la muestra, μ es la media propuesta en la hipótesis nula, s es la desviación estándar de la muestra y n es el tamaño de la muestra.

A continuación, se compara la estadística de prueba t con el valor crítico correspondiente obtenido de una tabla de distribución t-Student.

Si el valor de la estadística de prueba t supera el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula.

Prueba t de dos muestras independientes

La prueba t de dos muestras independientes se utiliza cuando queremos comparar las medias de dos grupos independientes de datos.

La hipótesis nula afirmaría que las medias de ambos grupos son iguales y la hipótesis alternativa afirmaría lo contrario.

Para realizar la prueba t de dos muestras independientes, se calcula la estadística de prueba t utilizando la fórmula:

t = (x̄1 – x̄2) / √((s1² / n1) + (s2² / n2))

Donde x̄1 y x̄2 son las medias de los dos grupos, s1 y s2 son las desviaciones estándar de los dos grupos y n1 y n2 son los tamaños de los dos grupos.

Se compara la estadística de prueba t con el valor crítico obtenido de la tabla de distribución t-Student.

Si el valor de la estadística de prueba t supera el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula.

Prueba t de dos muestras relacionadas

La prueba t de dos muestras relacionadas se utiliza cuando queremos comparar las medias de dos grupos relacionados o emparejados.

Esto podría significar, por ejemplo, comparar las puntuaciones antes y después de un tratamiento o comparar las puntuaciones de un grupo de hermanos.

En esta prueba, la hipótesis nula afirmaría que la diferencia entre las puntuaciones de los dos grupos es igual a cero y la hipótesis alternativa afirmaría lo contrario.

Para realizar la prueba t de dos muestras relacionadas, se calcula la estadística de prueba t utilizando la fórmula:

t = (x̄d – μd) / (sd / √n)

Donde x̄d es la media de la diferencia de las puntuaciones, μd es la media de la diferencia propuesta en la hipótesis nula, sd es la desviación estándar de las diferencias y n es el tamaño de la muestra de diferencias.

Se compara la estadística de prueba t con el valor crítico obtenido de la tabla de distribución t-Student.

Si el valor de la estadística de prueba t supera el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula.

Ejemplo práctico de prueba t de una muestra

Supongamos que un fabricante de yogures quiere evaluar si la cantidad promedio de azúcar en sus yogures es superior a la cantidad declarada en el etiquetado.

Para esto, recolecta una muestra de 30 yogures y mide la cantidad de azúcar en cada uno.

La cantidad promedio de azúcar obtenida es de 15.5 gramos y la desviación estándar de la muestra es de 2 gramos.

La hipótesis nula sería que la cantidad promedio de azúcar es igual o menor a la cantidad declarada en el etiquetado (H0: μ ≤ 15 gramos) y la hipótesis alternativa sería que la cantidad promedio de azúcar es mayor a la cantidad declarada en el etiquetado (H1: μ > 15 gramos).

Utilizando la fórmula de la prueba t de una muestra:

t = (x̄ – μ) / (s / √n)

Sustituyendo los valores de la muestra, obtenemos:

t = (15.5 – 15) / (2 / √30) ≈ 2.12

Buscando en la tabla de distribución t-Student con 29 grados de libertad y un nivel de significancia de α = 0.05, obtenemos el valor crítico t = 1.699.

Como el valor de la estadística de prueba t (2.12) es mayor que el valor crítico (1.699), podemos rechazar la hipótesis nula y concluir que hay suficiente evidencia para afirmar que la cantidad promedio de azúcar en los yogures es mayor a la cantidad declarada en el etiquetado.

Pruebas de hipótesis para muestras pequeñas

Además de las pruebas de hipótesis para muestras grandes, también existen pruebas de hipótesis para muestras pequeñas.

Estas pruebas se utilizan cuando el tamaño de la muestra es pequeño y las suposiciones necesarias para las pruebas de hipótesis para muestras grandes no se cumplen.

Prueba t de una muestra

La prueba t de una muestra para muestras pequeñas utiliza la misma fórmula que la prueba t de una muestra para muestras grandes, pero se utiliza la distribución t-Student en lugar de la distribución normal estándar para calcular el valor crítico.

Prueba t de dos muestras independientes

La prueba t de dos muestras independientes para muestras pequeñas utiliza la misma fórmula que la prueba t de dos muestras independientes para muestras grandes, pero se utiliza la distribución t-Student en lugar de la distribución normal estándar para calcular el valor crítico.

Prueba t de dos muestras relacionadas

La prueba t de dos muestras relacionadas para muestras pequeñas utiliza la misma fórmula que la prueba t de dos muestras relacionadas para muestras grandes, pero se utiliza la distribución t-Student en lugar de la distribución normal estándar para calcular el valor crítico.

Ejemplo práctico de prueba t de dos muestras independientes

Supongamos que se desea comparar el tiempo promedio de finalización de dos grupos diferentes de estudiantes al realizar una tarea en un laboratorio de computadoras.

El primer grupo está compuesto por 25 estudiantes de ingeniería y el segundo grupo está compuesto por 30 estudiantes de ciencias sociales.

Se registra el tiempo que cada estudiante tarda en completar la tarea y se obtienen las siguientes medias y desviaciones estándar:

Grupo de ingeniería: media = 35 minutos, desviación estándar = 5 minutos

Grupo de ciencias sociales: media = 40 minutos, desviación estándar = 6 minutos

La hipótesis nula sería que no hay diferencia significativa en el tiempo promedio de finalización entre los dos grupos (H0: μ1 = μ2) y la hipótesis alternativa sería que hay una diferencia significativa (H1: μ1 ≠ μ2).

Utilizando la fórmula de la prueba t de dos muestras independientes:

t = (x̄1 – x̄2) / √((s1² / n1) + (s2² / n2))

Sustituyendo los valores de la muestra, obtenemos:

t = (35 – 40) / √((5² / 25) + (6² / 30)) ≈ -2.72

Buscando en la tabla de distribución t-Student con 53 grados de libertad y un nivel de significancia de α = 0.05 (dividido por 2 en este caso, ya que es una prueba de dos colas), obtenemos el valor crítico t = ±2.012.

Como el valor de la estadística de prueba t (-2.72) es menor que el valor crítico (-2.012), podemos rechazar la hipótesis nula y concluir que hay suficiente evidencia para afirmar que hay una diferencia significativa en el tiempo promedio de finalización entre los dos grupos de estudiantes.

Pruebas de hipótesis para proporciones

Además de las pruebas de hipótesis para medias, también existen pruebas de hipótesis para proporciones.

Estas pruebas se utilizan cuando queremos evaluar si la proporción de una característica en la población es igual a un valor específico.

Prueba de una proporción

La prueba de una proporción se utiliza cuando queremos evaluar si la proporción de una característica en una población es igual a un valor específico.

La hipótesis nula afirmaría que la proporción poblacional es igual a ese valor específico y la hipótesis alternativa afirmaría lo contrario.

Para realizar la prueba de una proporción, se calcula la estadística de prueba z utilizando la fórmula:

z = (p̂ – p0) / √((p0 * (1 – p0)) / n)

Donde p̂ es la proporción de la característica en la muestra, p0 es la proporción propuesta en la hipótesis nula y n es el tamaño de la muestra.

Se compara la estadística de prueba z con el valor crítico obtenido de la tabla de distribución normal estándar.

Si el valor de la estadística de prueba z supera el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula.

Prueba de dos proporciones

La prueba de dos proporciones se utiliza cuando queremos comparar las proporciones de dos grupos independientes en una población.

La hipótesis nula afirmaría que las proporciones de ambos grupos son iguales y la hipótesis alternativa afirmaría lo contrario.

Para realizar la prueba de dos proporciones, se calcula la estadística de prueba z utilizando la fórmula:

z = (p̂1 – p̂2) / √((p̂(1 – p̂) * (1/n1 + 1/n2)))

Donde p̂1 y p̂2 son las proporciones de las dos muestras, p̂ es la proporción combinada de las dos muestras, n1 y n2 son los tamaños de las dos muestras.

Se compara la estadística de prueba z con el valor crítico obtenido de la tabla de distribución normal estándar.

Si el valor de la estadística de prueba z supera el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula.

Ejemplo práctico de prueba de una proporción

Supongamos que queremos evaluar si la proporción de estudiantes que aprueban un examen de matemáticas es mayor al 70%.

En una muestra aleatoria de 200 estudiantes, se encontró que 150 estudiantes aprobaron el examen.

La hipótesis nula sería que la proporción de estudiantes que aprueban el examen es igual o menor al 70% (H0: p ≤ 0.7) y la hipótesis alternativa sería que la proporción es mayor al 70% (H1: p > 0.7).

Utilizando la fórmula de la prueba de una proporción:

z = (p̂ – p0) / √((p0 * (1 – p0)) / n)

Sustituyendo los valores de la muestra, obtenemos:

z = (150/200 – 0.7) / √((0.7 * (1 – 0.7)) / 200) ≈ 2.18

Buscando en la tabla de distribución normal estándar, con un nivel de significancia de α = 0.05, obtenemos el valor crítico z = 1.645.

Como el valor de la estadística de prueba z (2.18) es mayor que el valor crítico (1.645), podemos rechazar la hipótesis nula y concluir que hay suficiente evidencia para afirmar que la proporción de estudiantes que aprueban el examen es mayor al 70%.

Pruebas de hipótesis para varianzas

Además de las pruebas de hipótesis para medias y proporciones, también existen pruebas de hipótesis para varianzas.

Estas pruebas se utilizan cuando queremos evaluar si la varianza de una variable en la población es igual a un valor específico.

Prueba de una varianza

La prueba de una varianza se utiliza cuando queremos evaluar si la varianza de una variable en una población es igual a un valor específico.

La hipótesis nula afirmaría que la varianza poblacional es igual a ese valor específico y la hipótesis alternativa afirmaría lo contrario.

Para realizar la prueba de una varianza, se calcula la estadística de prueba chi cuadrado utilizando la fórmula:

X² = (n – 1) * s² / σ₀²

Donde n es el tamaño de la muestra, s² es la varianza de la muestra y σ₀² es la varianza propuesta en la hipótesis nula.

Se compara la estadística de prueba chi cuadrado con el valor crítico obtenido de la tabla de distribución chi cuadrado.

Si el valor de la estadística de prueba chi cuadrado supera el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula.

Prueba de dos varianzas

La prueba de dos varianzas se utiliza cuando queremos comparar las varianzas de dos grupos independientes en una población.

La hipótesis nula afirmaría que las varianzas de ambos grupos son iguales y la hipótesis alternativa afirmaría lo contrario.

Para realizar la prueba de dos varianzas, se calcula la estadística de prueba F utilizando la fórmula:

F = s₁² / s₂²

Donde s₁² y s₂² son las varianzas de los dos grupos.

Se compara la estadística de prueba F con el valor crítico obtenido de la tabla de distribución F.

Si el valor de la estadística de prueba F supera el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula.

Ejemplo práctico de prueba de una varianza

Supongamos que queremos evaluar si la varianza de los tiempos de respuesta de un sistema de atención al cliente es superior a 10 minutos.

En una muestra aleatoria de 50 tiempos de respuesta, se obtiene una varianza muestral de 12.5 minutos.

La hipótesis nula sería que la varianza de los tiempos de respuesta es igual o menor a 10 minutos (H0: σ² ≤ 10) y la hipótesis alternativa sería que la varianza es mayor a 10 minutos (H1: σ² > 10).

Utilizando la fórmula de la prueba de una varianza:

X² = (n – 1) * s² / σ₀²

Sustituyendo los valores de la muestra, obtenemos:

X² = (50 – 1) * 12.5 / 10 = 62.5

Buscando en la tabla de distribución chi cuadrado con 49 grados de libertad y un nivel de significancia de α = 0.05, obtenemos el valor crítico X² = 66.766.

Como el valor de la estadística de prueba X² (62.5) es menor que el valor crítico (66.766), no podemos rechazar la hipótesis nula y concluimos que no hay suficiente evidencia para afirmar que la varianza de los tiempos de respuesta es mayor a 10 minutos.

Ventajas y desventajas de las pruebas de hipótesis

Las pruebas de hipótesis tienen ventajas y desventajas que debemos tener en cuenta al utilizarlas en la práctica.

Ventajas de las pruebas de hipótesis

  • Proporcionan una forma sistemática y estandarizada de evaluar afirmaciones y tomar decisiones basadas en evidencia estadística.
  • Permiten controlar el nivel de riesgo de cometer errores de tipo I al establecer un nivel de significancia previo.
  • Permiten hacer inferencias y generalizaciones sobre una población a partir de información obtenida de una muestra.
  • Son ampliamente utilizadas en diversos campos, desde la medicina hasta la economía y la ciencia.

Desventajas de las pruebas de hipótesis

  • Pueden ser difíciles de entender y aplicar correctamente, especialmente para personas sin experiencia en estadística.
  • Dependen de supuestos y condiciones que deben ser satisfechos, como la aleatoriedad de la muestra y la normalidad de la distribución subyacente.
  • Pueden dar lugar a conclusiones incorrectas si se interpreten de manera incorrecta o si se elige un nivel de significancia inapropiado.
  • En ocasiones, pueden conducir a la aceptación incorrecta de la hipótesis nula debido a la falta de poder estadístico cuando la muestra es pequeña o los efectos son pequeños.

Conclusiones

Las pruebas de hipótesis son una herramienta fundamental en la inferencia estadística, ya que nos permiten tomar decisiones basadas en evidencia y realizar inferencias sobre una población a partir de una muestra.

A través de diferentes técnicas estadísticas, podemos evaluar afirmaciones en términos de parámetros poblacionales y determinar si hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula en favor de la hipótesis alternativa.

Es importante comprender los diferentes pasos y técnicas para realizar pruebas de hipótesis según el tipo de parámetro que se está evaluando y el tamaño de la muestra.

Además, es fundamental comprender las ventajas y desventajas de estas pruebas para tomar decisiones informadas y evitar conclusiones incorrectas.

Recursos adicionales

Si estás interesado en aprender más sobre pruebas de hipótesis o si deseas practicar tus habilidades, aquí tienes algunas recomendaciones de libros y recursos en línea:

Libros recomendados sobre pruebas de hipótesis

  1. “Introduction to the Practice of Statistics” de David S.

    Moore y George P.

    McCabe
  2. “Statistics for Business and Economics” de Paul Newbold, William L.

    Carlson y Betty Thorne
  3. “Statistical Inference” de George Casella y Roger L.

    Berger

Sitios web para aprender más sobre pruebas de hipótesis

  • Las páginas web de estadística de universidades reconocidas, como el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) y la Universidad de Stanford, suelen ofrecer recursos educativos gratuitos y lecciones sobre pruebas de hipótesis.
  • Existen plataformas en línea especializadas en cursos de estadística, como Coursera y Khan Academy, que ofrecen cursos gratuitos y de pago sobre pruebas de hipótesis.

Ejemplos de problemas de pruebas de hipótesis para practicar

Para practicar tus habilidades en la realización de pruebas de hipótesis, existen muchos problemas disponibles en libros de estadística y en línea.

Ejercitar con problemas de múltiples contextos ayuda a comprender mejor las técnicas y conceptos relacionados con las pruebas de hipótesis.

Al practicar con problemas, asegúrate de realizar cada paso de manera cuidadosa y de interpretar correctamente los resultados.

También es recomendable verificar las soluciones para confirmar tu comprensión y aprender de cualquier error o dificultad que encuentres.