En el campo de las matemáticas, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es un concepto fundamental que se emplea en numerosas aplicaciones. Resolveremos paso a paso cómo determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos a(1, 3) y b(-4, 2) utilizando técnicas matemáticas y fórmulas específicas.
Identificación de los puntos dados
Antes de proceder a encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados, es fundamental identificar claramente estos puntos. El primer punto a se define por las coordenadas (1, 3), mientras que el segundo punto b se representa por las coordenadas (-4, 2).
Cálculo de la pendiente
El primer paso en la determinación de la ecuación de la recta que pasa por los puntos a y b implica el cálculo de la pendiente. La pendiente de una recta pasante por dos puntos se puede obtener aplicando la fórmula:
m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
Donde (x₁, y₁) y (x₂, y₂) son las coordenadas de los puntos a y b, respectivamente. Sustituyendo los valores, la pendiente m se obtiene como:
m = (2 – 3) / (-4 – 1) = -1 / -5 = 1/5
Uso de la forma punto-pendiente
Una vez que se ha calculado la pendiente, podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta para encontrar la ecuación requerida. La forma de la ecuación punto-pendiente es:
y – y₁ = m(x – x₁)
Sustituyendo la pendiente m y las coordenadas del punto a en la ecuación, obtenemos:
y – 3 = (1/5)(x – 1)
Convertir a la forma estándar
Finalmente, para expresar la ecuación de la recta en su forma estándar (y = mx + b), es necesario despejar y en la ecuación punto-pendiente. Realizando esta operación, obtenemos:
y = (1/5)x + 14/5
Interpretación y conclusiones
Al determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos a(1, 3) y b(-4, 2), hemos demostrado el uso de conceptos matemáticos fundamentales. La pendiente y la forma punto-pendiente nos han permitido encontrar una expresión precisa para la recta en cuestión. Esta ecuación puede utilizarse para predecir el comportamiento de la recta en diferentes situaciones y aplicaciones prácticas.