Ecuación de la recta que pasa por los puntos a(1 3) y b(-4 2)
Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos a(1, 3) y b(-4, 2), podemos utilizar la fórmula de la pendiente. La fórmula general es:
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
Donde (x1, y1) y (x2, y2) son las coordenadas de los puntos a y b, respectivamente.
Primero, calculemos la pendiente utilizando los valores de los puntos a y b:
x1 = 1
y1 = 3
x2 = -4
y2 = 2
m = (2 - 3) / (-4 - 1)
m = -1 / -5
m = 1/5
Ahora que tenemos la pendiente, podemos utilizar la fórmula de la pendiente-intersección para la ecuación de la recta:
y - y1 = m(x - x1)
Sustituyendo los valores conocidos:
y - 3 = (1/5)(x - 1)
y - 3 = (1/5)x - 1/5
Finalmente, podemos simplificar la ecuación:
y = (1/5)x - 1/5 + 3
y = (1/5)x + 14/5
Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos a(1, 3) y b(-4, 2) es:
y = (1/5)x + 14/5
1. ¿Qué es una ecuación de la recta?
Una ecuación de la recta es una expresión matemática que describe la relación entre los puntos de una recta. Se utiliza para representar gráficamente una línea recta en un plano cartesiano.
La forma general de una ecuación de la recta es:
- y = mx + b
Donde:
- y es la coordenada vertical (ordenada) de un punto en la recta.
- x es la coordenada horizontal (abscisa) de un punto en la recta.
- m es la pendiente de la recta, que indica su inclinación.
- b es el término independiente, que representa el punto en el eje y donde la recta cruza.
La ecuación de la recta permite determinar las coordenadas de cualquier punto de la recta, así como también representa la relación lineal entre las variables x e y. La pendiente determina la inclinación de la recta, mientras que el término independiente indica en qué punto esta corta al eje y.
2. Método para calcular la pendiente de la recta
En geometría, la pendiente de una recta es una medida que indica cuán inclinada está la recta con respecto al eje horizontal. Calcular la pendiente de una recta puede ser útil en muchos campos, como la física, la ingeniería y las matemáticas.
Existen diferentes métodos para calcular la pendiente de una recta, pero uno de los más comunes es el método de la fórmula de la pendiente. La fórmula de la pendiente establece que la pendiente (m) de una recta se obtiene dividiendo el cambio vertical (Δy) entre dos puntos sobre la recta, por el cambio horizontal (Δx) entre esos mismos puntos. En otras palabras:
m = Δy / Δx
Para utilizar esta fórmula, necesitamos dos puntos sobre la recta. Podemos llamar a estos puntos (x1, y1) y (x2, y2). El punto (x1, y1) puede ser llamado el punto inicial, mientras que el punto (x2, y2) puede ser llamado el punto final. Con estos dos puntos, podemos calcular la pendiente de la recta.
Aquí hay un ejemplo de cómo calcular la pendiente de una recta utilizando la fórmula de la pendiente:
- Selecciona dos puntos en la recta: (2, 4) y (5, 7)
- Calcula el cambio vertical (Δy): 7 – 4 = 3
- Calcula el cambio horizontal (Δx): 5 – 2 = 3
- Divide el cambio vertical entre el cambio horizontal: m = 3 / 3 = 1
Así, la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, 4) y (5, 7) es igual a 1.
Es importante tener en cuenta que la pendiente puede ser positiva, negativa o incluso cero. Una pendiente positiva indica una recta inclinada hacia arriba de izquierda a derecha, mientras que una pendiente negativa indica una recta inclinada hacia abajo de izquierda a derecha. Una pendiente de cero indica una recta horizontal.
En conclusión, el método para calcular la pendiente de una recta utilizando la fórmula de la pendiente es bastante sencillo. Con dos puntos sobre la recta, podemos usar esta fórmula para obtener la pendiente.
3. Cálculo de la pendiente con los puntos a(1 3) y b(-4 2)
Para calcular la pendiente entre dos puntos en un plano cartesiano, podemos utilizar la fórmula (y2 – y1) / (x2 – x1), donde (x1, y1) y (x2, y2) son las coordenadas de los puntos dados.
En este caso, tenemos los puntos a(1, 3) y b(-4, 2).
Aplicando la fórmula, obtenemos:
- x1 = 1
- y1 = 3
- x2 = -4
- y2 = 2
Sustituyendo en la fórmula:
Pendiente = (2 – 3) / (-4 – 1) = -1 / -5 = 1/5
Por lo tanto, la pendiente entre los puntos a(1, 3) y b(-4, 2) es de 1/5.
4. Cálculo de la ecuación de la recta que pasa por los puntos a(1 3) y b(-4 2)
En geometría analítica, una recta puede ser definida por dos puntos conocidos que pertenecen a ella. Para calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos ((1,3)) y ((-4,2)), debemos seguir los siguientes pasos:
- Calcular la pendiente de la recta.
- Usar la fórmula de la pendiente-intercepto para obtener la ecuación de la recta.
Calculando la pendiente:
La pendiente (m) de una recta se puede encontrar usando la fórmula:
m = (frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}})
Donde ((x_1, y_1)) y ((x_2, y_2)) son los puntos conocidos.
Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos:
m = (frac{{2 – 3}}{{-4 – 1}})
Realizando las operaciones, obtenemos:
m = (frac{{-1}}{{-5}})
m = (frac{{1}}{{5}})
Usando la fórmula de la pendiente-intercepto:
La ecuación de la recta en su forma pendiente-intercepto es:
y = mx + b
Donde (m) es la pendiente y (b) es el término independiente o intercepto en el eje y.
Para encontrar (b), podemos usar uno de los puntos conocidos. Tomemos el punto ((1,3)).
Sustituyendo este punto en la ecuación, tenemos:
3 = (frac{{1}}{{5}}) cdot 1 + b
Realizando las operaciones, tenemos:
3 = (frac{{1}}{{5}}) + b
Restando (frac{{1}}{{5}}) a ambos lados de la ecuación, obtenemos:
3 – (frac{{1}}{{5}}) = b
Realizando la resta, obtenemos:
b = (frac{{14}}{{5}})
Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos ((1,3)) y ((-4,2)) es:
y = (frac{{1}}{{5}})x + (frac{{14}}{{5}})
¡Y eso es todo! Ahora tienes la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados.
5. Representación gráfica de la recta
La representación gráfica de la recta es una herramienta fundamental en el estudio de la geometría y el análisis matemático. Permite visualizar de manera clara y precisa las características y propiedades de una recta.
Para representar gráficamente una recta, es necesario conocer al menos dos puntos por los que pasa dicha recta. Estos puntos serán utilizados para trazar la línea recta en un plano cartesiano.
En un plano cartesiano, la recta se representa como una línea continua que se extiende hasta el infinito en ambas direcciones. Los puntos que se encuentran sobre la recta se denominan puntos pertenecientes a la misma, mientras que los puntos que se encuentran fuera de la recta se consideran puntos no pertenecientes.
Una vez ubicados los puntos en el plano cartesiano, se procede a trazar la línea recta que los une. Esta línea se extiende hasta el infinito en ambas direcciones, lo que indica que la recta no tiene principio ni fin.
Es importante destacar que una recta queda completamente determinada por dos puntos distintos que pertenecen a la misma. Esto significa que cualquier otro par de puntos sobre la recta no aporta información adicional.
En algunos casos, es posible que se proporcionen otros elementos que permitan la representación gráfica de una recta, como su pendiente y un punto de referencia. Estos datos proporcionan información adicional sobre la inclinación y posición de la recta en el plano cartesiano.
En resumen, la representación gráfica de la recta es una herramienta fundamental en matemáticas que nos permite visualizar de forma clara y precisa las características y propiedades de una recta. A través de un plano cartesiano y la ubicación de al menos dos puntos, podemos trazar una línea recta que se extienda hasta el infinito en ambas direcciones.