Introducción
La ecuación de la circunferencia es una herramienta fundamental en la geometría, y su comprensión es crucial para resolver problemas en el plano cartesiano. En este artículo, exploraremos cómo encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y que atraviesa un punto específico en el plano, en este caso el punto p(3, 1).
Definición de la circunferencia
Antes de sumergirnos en el proceso de encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto p(3, 1), es importante recordar la definición de una circunferencia. En pocas palabras, una circunferencia es el conjunto de todos los puntos que están a una distancia fija (llamada radio) de un punto dado en el plano (llamado centro).
La ecuación de una circunferencia con centro en el origen
La ecuación general de una circunferencia con centro en el origen y radio ‘r’ es dada por la fórmula: x^2 + y^2 = r^2. Sin embargo, para encontrar la ecuación de una circunferencia que pasa por un punto específico, como p(3, 1), necesitamos ajustar esta fórmula.
El proceso paso a paso
A continuación, desglosaremos el proceso paso a paso para encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que atraviesa el punto p(3, 1), utilizando conceptos de la geometría analítica.
Paso 1: Identificar el centro y el radio
En primer lugar, dado que la circunferencia tiene su centro en el origen, sabemos que el centro (h, k) es el punto (0, 0). El siguiente paso es encontrar el radio, que en este caso es la distancia entre el centro (0, 0) y el punto p(3, 1).
Paso 2: Calcular el radio
Utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos en un plano, el radio ‘r’ se calcula como la raíz cuadrada de la diferencia de las coordenadas x y y elevadas al cuadrado. En este caso, el radio ‘r’ es la raíz cuadrada de (3-0)^2 + (1-0)^2, que es igual a la raíz cuadrada de 3^2 + 1^2, que a su vez es la raíz cuadrada de 9 + 1, es decir, la raíz cuadrada de 10.
Paso 3: Sustituir en la ecuación general
Finalmente, con el centro (0, 0) y el radio ‘r’ = √10, podemos sustituir estos valores en la ecuación general de la circunferencia con centro en el origen (x^2 + y^2 = r^2) para obtener la ecuación específica que describe la circunferencia que pasa por el punto p(3, 1).
La ecuación específica
Después de completar los pasos anteriores, la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que atraviesa el punto p(3, 1) es x^2 + y^2 = 10.
Cierre
En resumen, la comprensión de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que atraviesa un punto específico es un concepto clave en geometría analítica. Al seguir el proceso paso a paso y aplicar los conceptos de distancia entre puntos en el plano, podemos encontrar la ecuación precisa que describe esta circunferencia particular. Este conocimiento no solo es fundamental para las matemáticas, sino que también tiene aplicaciones en diversas áreas, desde la física hasta la ingeniería.