La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es igual a 85
Resolución del problema:
Imagínate por un momento enfrentarte a un problema matemático que desafía tu lógica y capacidad de razonamiento. Resolveremos paso a paso el enigma matemático que plantea que la suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos da como resultado 85. Vamos a sumergirnos en este desafío matemático para encontrar la solución con precisión y claridad.
Datos iniciales
Antes de abordar este problema, es esencial comprender lo que se nos está pidiendo. ¿Qué son números enteros consecutivos? Son aquellos números enteros que siguen en orden sin interrupción, es decir, se encuentran uno al lado del otro. Por ejemplo, 3 y 4, o -5 y -4 son pares de números enteros consecutivos. Ahora que tenemos claro este concepto, podemos avanzar hacia la resolución del problema.
Definición del problema
El problema establece que debemos encontrar dos números enteros consecutivos cuya suma de los cuadrados sea igual a 85. Es decir, si designamos uno de los números como “x”, el siguiente número consecutivo será “x + 1”. Luego, debemos encontrar el valor de “x” que cumpla con esta condición.
Plantear las ecuaciones
Para resolver este problema, necesitaremos plantear una ecuación que exprese la condición dada. La suma de los cuadrados de los dos números enteros consecutivos es igual a 85. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación:
x^2 + (x + 1)^2 = 85
Desarrollo matemático
Vamos a desarrollar la ecuación paso a paso para despejar el valor de “x”.
x^2 + (x + 1)^2 = 85
x^2 + x^2 + 2x + 1 = 85
2x^2 + 2x + 1 = 85
2x^2 + 2x – 84 = 0
Aplicación de la fórmula cuadrática
Para resolver la ecuación cuadrática 2x^2 + 2x – 84 = 0, podemos aplicar la fórmula cuadrática:
x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a
Donde a = 2, b = 2 y c = -84
Encontrar el discriminante
El discriminante, representado por “b^2 – 4ac”, nos dará información sobre la naturaleza de las soluciones de la ecuación cuadrática.
b^2 – 4ac = 2^2 – 4*2*(-84) = 4 + 672 = 676
Como el discriminante es positivo, tendremos dos soluciones reales diferentes para la ecuación cuadrática.
Calcular las soluciones
Aplicando la fórmula cuadrática con el discriminante positivo, obtenemos las dos soluciones para “x”.
x = (-2 + √676) / 4 = (-2 + 26) / 4 = 24 / 4 = 6
x = (-2 – √676) / 4 = (-2 – 26) / 4 = -28 / 4 = -7
Comprobación de las soluciones
Ahora que hemos encontrado dos posibles valores para “x”, es crucial verificar si ambos cumplen la condición dada en el problema original: que la suma de los cuadrados de los dos números enteros consecutivos sea igual a 85.
Para x = 6
Si tomamos “x = 6”, el siguiente número consecutivo sería “x + 1 = 7”. Calculemos la suma de los cuadrados de estos dos números:
6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85
Al calcular la suma de los cuadrados de 6 y 7, obtenemos como resultado 85, lo que confirma que esta pareja de números cumple con la condición del problema.
Para x = -7
Si consideramos “x = -7”, el siguiente número consecutivo sería “-7 + 1 = -6”. Vamos a calcular la suma de los cuadrados de estos dos números:
(-7)^2 + (-6)^2 = 49 + 36 = 85
Al realizar la suma de los cuadrados de -7 y -6, obtenemos nuevamente 85, confirmando que esta segunda pareja de números también satisface la condición dada en el problema.
Conclusión
Hemos logrado resolver el problema matemático que planteaba la suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos igual a 85. Al encontrar los valores de “x” y verificar las soluciones, confirmamos que tanto “6” y “7”, como “-7” y “-6” son las parejas de números enteros consecutivos que cumplen con la condición dada. Esta ha sido una experiencia desafiante pero gratificante, que nos demuestra la importancia de la perseverancia y el razonamiento lógico en la resolución de problemas matemáticos.