Conjuntos por extensión
Los conjuntos por extensión son una forma de representar conjuntos en matemáticas. En lugar de enumerar todos los elementos de un conjunto uno por uno, se utilizan llaves { } para representar el conjunto y se separan los elementos con comas.
Por ejemplo, consideremos el conjunto de los primeros cinco números naturales:
{1, 2, 3, 4, 5}
Este conjunto se lee “el conjunto que contiene los números 1, 2, 3, 4 y 5”.
Es importante destacar que el orden de los elementos no importa dentro de un conjunto por extensión, lo que importa es que cada elemento aparezca una sola vez.
Podemos utilizar conjuntos por extensión para representar conjuntos finitos o infinitos. Veamos un ejemplo de un conjunto infinito:
{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Este conjunto se lee “el conjunto que contiene todos los números enteros”. Aquí utilizamos los puntos suspensivos para indicar que los números continúan en ambas direcciones.
Es importante notar que los conjuntos por extensión no pueden representar conjuntos infinitos no numerables, como el conjunto de todos los números reales. Para conjuntos así, se utilizan otros métodos de representación, como los conjuntos por comprensión o las propiedades que definen a los elementos del conjunto.
Conjuntos por comprensión
Un conjunto por comprensión es una forma de definir un conjunto en base a una condición lógica. En otras palabras, se especifica una regla que define qué elementos deben pertenecer al conjunto.
La notación para representar conjuntos por comprensión es la siguiente:
- Se abre el conjunto con una llave de apertura ({).
- Se define una variable que representa los elementos del conjunto, seguido de dos puntos (:).
- Se establece la condición lógica que deben cumplir los elementos para pertenecer al conjunto.
- Se cierra el conjunto con una llave de cierre (}).
Por ejemplo, si queremos definir el conjunto de los números pares menores o iguales a 10, podemos utilizar la siguiente notación:
{x ∈ N | x es par y x ≤ 10}
En esta notación, x representa la variable que toma los valores del conjunto, N es el conjunto de los números naturales, el símbolo ∈ significa “pertenece a” y el símbolo | se lee como “tal que”.
Otro ejemplo sería el conjunto de las vocales en el alfabeto inglés. Utilizando la notación de conjuntos por comprensión, podríamos escribir:
{x | x es una vocal en el alfabeto inglés}
En resumen, los conjuntos por comprensión son una forma de definir conjuntos utilizando una condición lógica. Esta notación es útil para describir conjuntos de manera concisa y precisa.
Ejemplo de conjunto por extensión:
Un conjunto por extensión es una forma de representar un conjunto enumerando todos sus elementos de forma explícita. Por ejemplo, podemos representar un conjunto de números pares menores que 10 de la siguiente manera:
{2, 4, 6, 8}
En este caso, hemos enumerado todos los elementos del conjunto (2, 4, 6 y 8) separados por comas y encerrados entre llaves. De esta manera, queda claro qué elementos forman parte del conjunto.
Los conjuntos por extensión se utilizan cuando el número de elementos del conjunto es pequeño y fácil de enumerar. Sin embargo, en conjuntos con muchos elementos, esta forma de representación puede resultar muy larga y poco práctica.
Es importante mencionar que el orden de los elementos en un conjunto por extensión no importa, es decir, el conjunto {2, 4, 6, 8} es igual al conjunto {8, 6, 4, 2}.
Además, en un conjunto por extensión no se repiten elementos, es decir, si un elemento está repetido, se considera como una sola aparición en el conjunto final. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 2, 3} es igual al conjunto {1, 2, 3}.
En resumen, un conjunto por extensión es una forma de representar un conjunto enumerando todos sus elementos de forma explícita. Esta forma de representación es útil para conjuntos con pocos elementos, pero puede resultar larga y poco práctica en conjuntos grandes.
Ejemplo de conjunto por comprensión:
En matemáticas, un conjunto por comprensión es una forma de definir un conjunto al especificar las propiedades que deben cumplir sus elementos. Se representa utilizando llaves { } y una expresión que describe las características de los elementos.
Por ejemplo, puedes definir un conjunto de números pares mayores a 0 utilizando la siguiente expresión:
{x | x es un número par mayor a 0}
Esta expresión se lee como “el conjunto de x tal que x es un número par mayor a 0”. Los elementos de este conjunto serían todos aquellos números que cumplen dicha condición: 2, 4, 6, 8, etc.
El concepto de conjunto por comprensión es muy útil en matemáticas, ya que permite definir conjuntos de forma clara y precisa. Además, se puede utilizar para describir conjuntos infinitos, como el conjunto de todos los números primos o el conjunto de todos los múltiplos de un número dado.
En resumen, un conjunto por comprensión es una forma de definir un conjunto al especificar las propiedades que deben cumplir sus elementos. Se utiliza una expresión que describe estas propiedades y se representan utilizando llaves { }.