Ejemplo 1: Circunferencia con centro en (3, 4)
En este ejemplo, vamos a trabajar con una circunferencia que tiene su centro en el punto (3, 4).
Coordenadas del centro
El centro de la circunferencia se encuentra en el punto (3, 4). Esta información es crucial para determinar la ubicación de la circunferencia en el plano cartesiano.
Radio de la circunferencia
El radio de la circunferencia es una distancia que va desde el centro hasta cualquier punto de la circunferencia. En este caso, el radio no se especifica, por lo que no podemos determinar su valor exacto.
Fórmula general de una circunferencia
La fórmula general de una circunferencia se expresa como:
(x – h)² + (y – k)² = r²
donde (h, k) representa las coordenadas del centro de la circunferencia, y r es el radio de la circunferencia.
Graficar la circunferencia
Para graficar la circunferencia con centro en (3, 4), necesitamos dibujar un punto en dicha ubicación y trazar la circunferencia alrededor de ese punto, con un radio determinado.
Fórmula del área de una circunferencia
El área de una circunferencia se calcula utilizando la fórmula:
Área = π * r²
donde π (pi) es una constante cuyo valor es aproximadamente 3.14159, y r es el radio de la circunferencia.
Conclusión
En este ejemplo, hemos trabajado con una circunferencia con centro en (3, 4). Hemos visto cómo se determinan las coordenadas del centro, la fórmula general de una circunferencia, y cómo se grafica y calcula el área de una circunferencia.
Ejemplo 2: Circunferencia con centro en (-2, 1)
En este ejemplo, vamos a trabajar con una circunferencia que tiene su centro en el punto (-2, 1).
Para encontrar la ecuación de la circunferencia, necesitamos saber su radio. Supongamos que el radio es r.
La ecuación de la circunferencia con centro en (h, k) y radio r se puede escribir como:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
En este caso, el centro de la circunferencia es (-2, 1). Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:
(x – (-2))2 + (y – 1)2 = r2
Simplificando la ecuación, obtenemos:
(x + 2)2 + (y – 1)2 = r2
Para encontrar la ecuación de la circunferencia, necesitamos conocer el valor de r. Si no se da el valor del radio en el enunciado del problema, puede que tengamos que utilizar otros datos para encontrarlo.
Espero que este ejemplo te haya ayudado a entender cómo encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en un punto dado.
Ejemplo 3: Circunferencia con centro en (0, -5)
En este ejemplo vamos a tratar una circunferencia que tiene como centro el punto (0, -5).
Para empezar, recordemos que una circunferencia es el conjunto de puntos que están a una distancia constante, llamada radio, del centro. En este caso, el centro de la circunferencia es el punto (0, -5).
Una forma de representar una circunferencia con centro en un punto (h, k) es mediante la siguiente ecuación:
(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2
Donde (x, y) son las coordenadas de los puntos de la circunferencia, (h, k) es el centro de la circunferencia y r es el radio.
Aplicando esta fórmula al ejemplo que nos ocupa, tenemos:
(x – 0)^2 + (y – (-5))^2 = r^2
Simplificando la ecuación, obtenemos:
x^2 + (y + 5)^2 = r^2
A partir de esta ecuación, podemos obtener diversas propiedades de la circunferencia, como su diámetro, el área del círculo que forma y la longitud de la circunferencia.
Es importante destacar que el radio de esta circunferencia no se especifica en el ejemplo, por lo que no podemos calcular su diámetro, área o longitud sin más información.
En resumen, hemos visto un ejemplo de una circunferencia con centro en el punto (0, -5) y cómo podemos representarla mediante una ecuación.
Ejemplo 4: Circunferencia con centro en (6, -3)
En este ejemplo vamos a trabajar con una circunferencia que tiene su centro en el punto (6, -3).
Representación gráfica
Antes de continuar, veamos cómo se ve esta circunferencia en un plano cartesiano:
Características de la circunferencia
Una circunferencia está compuesta por todos los puntos en un plano que se encuentran a una distancia constante (llamada radio) de un punto fijo en el plano (llamado centro).
En este caso, el centro de la circunferencia es el punto (6, -3), lo cual indica que todos los puntos de la circunferencia estarán a la misma distancia de este punto.
Fórmula general
La fórmula general de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r es:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
Utilizando los valores del centro que tenemos, la fórmula se convierte en:
(x – 6)2 + (y + 3)2 = r2
Conclusiones
- La circunferencia con centro en (6, -3) forma una figura simétrica también conocida como círculo.
- La fórmula general nos permite calcular cualquier punto de la circunferencia si conocemos su radio.
Espero que este ejemplo te haya ayudado a comprender mejor cómo trabajar con circunferencias en el plano cartesiano.
Ejemplo 5: Circunferencia con centro en (-1, -1)
En este ejemplo estudiaremos una circunferencia con centro en el punto (-1, -1).
Fórmula de la circunferencia
La fórmula general de una circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r es:
(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2
Centro: (-1, -1)
En este caso, el centro de la circunferencia es (-1, -1), por lo que h = -1 y k = -1.
Fórmula específica
Reemplazando los valores en la fórmula general, obtenemos:
(x – (-1))^2 + (y – (-1))^2 = r^2
(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = r^2
Gráfica de la circunferencia
Para graficar la circunferencia, podemos asignar diversos valores al radio “r” y obtener diferentes circunferencias con centros en (-1, -1).
Ejemplos de circunferencias
- Para r = 1, la ecuación de la circunferencia sería (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1.
- Para r = 2, la ecuación de la circunferencia sería (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 4.
- Para r = 3, la ecuación de la circunferencia sería (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 9.
Estos son solo algunos ejemplos de las infinitas circunferencias que pueden tener centro en (-1, -1).